非線形最適化問題 その1

例:製品1キロあたり1万円の利益を見込む場合

→100キロ生産すれば100万円の利益見込み

生産量をx軸 利益をy軸にとると右上がりの直線グラフとなる。(線形関係)

・もし大量生産が見込めるのなら単位当たりのコストが下がるため

グラフは下に凸の上昇カーブとなる。(非線形関係)

・大量生産をし過ぎると値下げをしなければ売れなくなるため

グラフは上に凸の上昇カーブとなる。(非線形関係)


~ 制約ありの非線形最適化問題 ~

Aさんはマイホームを建てることにしました。

各工程に時間をかければそのぶん仕上がりはよくなりますが

仕上がりの程度は時間と直線グラフの線形関係ではなく

上に凸の曲線となる非線形関係にあります。

・工程i (i=1,2,・・・,n)に x(日)かけた時の仕上がりの程度を
log(aix+1) ai>0 とする。

・各工程は最低ti日かかる。 ti>0

・全工程をT日以内に終わらせなければならない。

・仕上がりの和を最大にするには各工程に何日かければ良いかを式で表す。

・工程iにx1日かける

・目的関数zは各工程の仕上がり程度の総和

このとき仕上がりzの最大化を式で表すと
→ z=Σlog(aixi+1) (i=1~n)

・工程iには最低ti(日)かかる。制約条件を式で表すと
→ xi≧ti (i=1,2,・・・n)

・全行程をT日以内に終わらせる。制約条件を式で表すと
→ Σxi≦T (i=1~n)


~ 制約なしの非線形最適化問題 ~

・5つの人口密集地区に消防署を建てることになりました。

・消防署はこれら5つの地区への直線距離の和が最小になる位置に設置します。

・消防署を設置すべき位置座標を求めよう。

各地区の座標

地区1: (1,12)
地区2: (4,14)
地区3: (15,10)
地区4: (11,2)
地区5: (5,5)

・消防署の位置の座標を(x,y)とする。

・地区i (i=1,2,3,4,5)の位置の座標を (xi,yi)とする。

・消防署と地区iの直線距離は
→ √(x-xi)^2+(y-yi)^2

・目的関数zは消防署と各地区の直線距離の総和となるので
→ z=Σ√(x-xi)^2+(y-yi)^2 (i=1~5)

∴ zを最小化するx,yを求めれば良い


線形最適化問題では制約条件が無いと目的関数を無限に大きくしたり小さくしたりできるため制約が必要となるが非線形最適化問題では制約がなくても目的関数の最適値、最適解が存在する問題がある。


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