電気と磁気

電気と磁気の世界における場の捉え方について学習しました。

場とは何か?

*気温の全国分布図の例*
札幌 27℃
東京 24℃

:温度の場について:

場所によって温度が決まっている

空間の座標の関数

温度は高いか低いか(大きさだけを持つ=スカラー)

スカラー場

*気象の風向分布図*
風の強さと風向(向き)という二つの要素

ベクトルで表すことができる

ベクトル場

電場や磁場もベクトル場にあたる

中心から何かが湧きだしている
または逆のベクトルの場合、沈み込んでいく
→ 発散型

ベクトルが回転しているような場
→ 回転型

・Aの場は発散はあるが回転は無いと言える(純粋発散型)
・Bの場は発散は無いが回転はあると言える(純粋回転型)
・Cの場は発散もあり回転もあると言える(合体型)

ヘルムホルツの定理
・あらゆる任意のベクトル場は純粋発散型と純粋回転型を組み合わせることで出来る


V=(-y,x,0)

青い原点のV(ベクトル)は(0,0,0)、どこにも向かっていないので矢印は書けない

赤い点の座標は(0,1,0)、Vは(0,1,0)、図の赤い矢印が書けた

緑の点の座標は(1,1,0)、Vは(-1,1,0)、図の緑の矢印が書けた

茶色の点の座標は(1,-1,0)、Vは(-1,-1,0)、図の茶色の矢印が書けた

ピンクの点の座標は(-1,0,0)、Vは(1,0,0)、図のピンクの矢印が書けた

インプットはその場所の座標値
アウトプットがベクトル


一番最初の図のBはこの式でできている

どれくらい発散しているか?
どれくらい回転しているか?

ベクトル場 V=(Vx,Vy,Vz)

~ 発散の大きさを知る式 ~
▽・V=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z

x成分をxで、y成分をyで、z成分をzで、それぞれ偏微分したものの合計

▽・Vが大きいとたくさん発散している
▽・Vがマイナスで絶対値が大きいとたくさん吸い込まれている
発散は強いか弱いかなのでスカラーである。

~ 回転の大きさを知る式 ~

▽とVの外積
▽ × V
x成分 ∂Vz/∂y-∂Vy/∂z
y成分 ∂Vx/∂z-∂Vz/∂x
z成分 ∂Vy/∂x-∂Vx/∂y

Aの図を式で表すと
V1=(x,y,0)
発散を計算してみる
▽・V=∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z
x成分をxで偏微分すると1
y成分をyで偏微分すると1
z成分は0
▽・V=1+1+0=2

回転を計算してみる
▽ × V
x成分 ∂Vz/∂y-∂Vy/∂z

z=0なので∂Vz/∂yは0
yをzで微分すると0

つまりx成分は0
同様にy成分とz成分も0

▽ × V=(0,0,0)

∴ 図Aは発散があり回転していない

Bの図の場合
Bの図を式で表すと
V2=(-y,x,0)

発散は ▽・V=0
回転は
x成分、y成分は0
z成分は 1ー(-1)=2
▽ × V=(0,0,2)

∴ 図Bは発散がなく回転はある

Cの図の場合
Cの図を式で表すと
V3=V1+V2
発散は ▽・V=2
▽ × V=(0,0,2)

∴ 図Cは発散も回転もある

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