～ 期待効用最大化原理 ～
期待効用が最大となる決定が、最適な決定であると言えるためにはいくつかの満たすべき前提条件がある。
＊結果
・行動aを選択し、状態Θが生じた結果y=(a,Θ)
［前提１］：多様性公理
・行動と状態は各々２種類以上存在
・結果の集合は４つ以上の異なる結果を生む
＊くじ
・確率pで結果y1、確率1-pで結果y2が起こるくじ
→ (y1:p1,p2:1-p)
・くじL1=(y1:p1,y2:1-p1)が確率qで起こり、
L2=(y3:p2,y4:1-p2)が確率1-qで起こる
複合的くじ
→ (L1:q,L2:1-q)
この場合４種類の結果が含まれるので４種類の結果とその生起確率を並べて書くことができるものとする。
→
(y1:p1q,y2:(1-p1)q,y3:p2(1-q),y4:(1-p2)(1-q))
∴ n種類の結果が起こるくじ
→ (y1:p1,y2:p2,・・・,yn:pn)
＊選好 （好ましさの記号)
x ≧ y ・・・ yがxより好ましくはない
x ~ y ・・・ x≧y かつ y≧x ・・・無差別
x > y ・・・ x≧y であって y≧x でない
x≧y であって x ~ y でない
［前提２］： 弱順序公理
すべての結果やくじx,y,zに対して次の式が成り立つ。
・反射律 x ~ x （xとxは無差別である）
・推移律 x≧y かつ y≧z ならば x≧z
・完備性 x≧y または y≧x の少なくとも一方が成立
［前提３］： 連続性公理
x,y,zの間にx>y>zが成り立つならば
→
(x:p,z:1-p) ～ y
を満たす0<p<1が存在する
例）
・ｘは１００円もらえる
・ｙは５０円もらえる
・ｚは何ももらえない
確率０．０１でｘの結果、すなわち１００円もらえる。
確率０．９９でｚの結果、すなわち何ももらえない。
というくじと
１００％の確率でyの結果、すなわち５０円もらえる権利
どちらがより好ましいか？
→
もちろん１００％の確率で５０円もらえるほう
では
確率０．９９で１００円
確率０．０１で０円
のくじと
１００％５０円もらえる権利
では
もちろんくじのほうを引く
つまり１００円をもらえる確率を調整すれば確実に５０円もらえる権利と無差別にできる、ということを要請するのがこの連続性公理という前提
［前提４］： 独立性公理
ｘ～ｙならば、任意のｚと任意の０≦ｐ≦１に対して
(x:p,z:1-p)～(y:p,z:1-p)
が成り立つ。
つまりｘとｙの選好関係はｚやｐとは無関係に決まる、という前提
［ 以上の前提１～４を満たす時 ］
・任意の結果ｘ、ｙに対し
x≧y ⇔ u(x)≧u(y)
を満たす効用関数uが一意に決まる
・くじL=(y1:p1,y2:p2,・・・,yn:pn) の効用は
→
p1u(y1)+p2u(y2)+・・・+pnu(yn)
という式が成り立つ。